Si è cominciato questo viaggio attraverso i poligoni regolari partendo dai più piccoli (triangolo equilatero e quadrato) che abbiamo avuto modo di constatare essere sicuramente “poligoni particolari” in quanto definibili anche in base a caratteristiche di altre famiglie di figure geometriche. Per Il pentagono invece non ci sono assolutamente dubbi o possibili confusioni, essendo i suoi lati ed i suoi angoli tutti uguali, lo si classifica solo ed esclusivamente come poligono regolare.
Nella geometria piana (geometria euclidea), i poligoni regolari si contraddistiguono dalle altre figure piane e chiuse, per due proprietà fondamentali:
– hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
– hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)
Il pentagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 108° e possiede 5 assi di simmetria che altro non sono che le sue bisettrici, mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti. Un unico punto identifica quindi contemporaneamente l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.
Il pentagono regolare è forse la figura più “magica” della geometria classica; non solo ha notevoli proprietà matematiche (per esempio il rapporto fra lato e diagonale che coincide con la sezione aurea), ma è una delle sole tre figure (assieme a triangolo equilatero e quadrato) con cui si possono costruire i poliedri regolari (solidi platonici): tetraedro, ottaedro e icosaedro composti rispettivamente da 4, 8 e 20 triangoli equilateri; il cubo fatto con 6 quadrati ed infine il dodecaedro composto da 12 pentagoni.
Inoltre, il pentagono regolare fu una forma geometrica molto cara ai pitagorici soprattutto nella forma del pentagramma (poligono stellato: una stella a cinque punte) che viene a formarsi da un pentagono regolare capovolto, o estendendo i suoi lati, o disegnando le sue diagonali. La figura risultante contiene varie lunghezze correlate sempre alla sezione aurea, da qui la sua supposta “magia”.
Costruzione con riga e compasso
Pentagono fase 1
Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza
Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, “abbastanza” orizzontale. Orizzontale perchè così la base del nostro pentagono risulterà, anche lei, “abbastanza” orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un pentagono e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.
Pentagono fase 2
Si passa poi a tracciare un primo arco
Dall’intersezione tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto due punti, P1 (destra) e P2 (sinistra).
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un’apertura pari al segmento P1P2.
Pentagono fase 3
Si passa poi a tracciare un secondo arco
In pratica dobbiamo ripetere l’operazione appena eseguita nella fase 2, invertendo però i punti di riferimento. Questa volta il compasso va puntato sul punto P2 e con un’apertura pari al segmento P2P1 tracciamo il secondo arco.
Pentagono fase 4
Tracciamo una retta perpendicolare a quella iniziale
I due archi tracciati nelle fasi precedenti si intersecano creando due nuovi punti: P3 (in alto) e P4 (in basso).
Andiamo quindi a tracciare la perpendicolare alla retta iniziale facendola passare per i punti P3 e P4. Abbiamo così una circonferenza e due rette tra loro perpendicolari passanti entrambe per il cento O della circonferenza stessa.
Pentagono fase 5
Tracciamo un nuovo arco più piccolo
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 (intersezione destra tra retta iniziale e circonferenza) con un’apertura di compasso pari al segmento P1O che, per informazione, corrisponde al raggio della circonferenza iniziale.
Pentagono fase 6
Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà
Dall’intersezione tra l’arco appena tracciato e la circonferenza iniziale abbiamo ottenuto due nuovi punti: P5 (in alto) e P6 (in basso).
Tracciamo ora un segmento che ha come limiti i due nuovi punti. Questo segmento andrà a divedere perfettamente a metà il raggio della nostra circonferenza (P1O)
Pentagono fase 7
Tracciamo una semicirconferenza passante per il vertice superiore del pentagono
Il segmento P5P6 appena tracciato, intersecandosi con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di ottenere il nuovo punto P7. Un ulteriore punto fin qui trascurato è quello ottenibile dall’intersezione tra la perpendicolare alla retta iniziale (retta verticale) e la circonferenza. Il nuovo punto D risulterà essere uno dei vertici (quello superiore) del pentagono che stiamo costruendo. Bene, puntando ora il compasso sul punto P7, con un’apertura pari al segmento P7D, tracciamo una semicirconferenza.
Pentagono fase 8
Tracciamo un nuovo arco
La semicirconferenza appena tracciata, intersecondosi a sinistra con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di rilevare il nuovo punto P8. La misura del segmento P8D è proprio la misura del lato del pentagono che vogliamo costruire. A questo punto possiamo puntare il compasso sul punto D e con apertura pari al segmento P8D tracciare un nuovo arco che andrà ad intersecarsi con la circonferenza in due nuovi punti che, guarda caso, risulteranno essere altri due vertici del nostro pentagono.
Pentagono fase 9
Un ultimo arco ed abbiamo finito
Potremmo ripetere due volte la fase 8 cambiando solo il punto su cui puntare il compasso ed otterremo i due vertici mancanti. Più semplicemente, con un solo arco possiamo ottenere lo stesso risultato. La semicirconferenza tracciata in precedenza, intersecondosi, questa volta a destra, con la retta iniziale (orizzontale), ci permette di rilevare il nuovo punto P9. Non ci rimane che, sempre puntando il nostro compasso sul punto D, questa volta con apertura pari al segmento P9D, tracciare un ultimo arco che intersecherà la circonferenza in due nuovi punti, che sono proprio i vertici mancanti del pentagono che stiamo costruendo.
Pentagono fase 10
Abbiamo ottenuto i vertici del pentagono
Il primo vertice in ordine di creazione (punto D) è stato ottenuto dall’intersezione tra la circonferenza e la retta perpendicolare (fase 4), poi, grazie all’arco tracciato nella fase 8, sono arrivati anche i vertici C e E, ed infine, un nuovo arco tracciato nella fase 9 ci ha permesso di trovare gli ultimi due vertici: il punto A ed il punto B.
Pentagono fase 11
Disegniamo i lati del pentagono
Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i cinque lati del pentagono unendo i suoi cinque vertici A B C D E in modo da completare la procedura di costruzione.
