L’esagono è probabilmente il poligono regolare più elegante. Nonostante i suoi sei lati, la sua costruzione geometrica risulta di una semplicità sconcertante, diversamente da quello che abbiamo ad esempio visto con il pentagono. Già questo dovrebbe farci pensare: la complessità di un poligono non è direttamente proporzionale al numero dei suoi lati.
L’esagono fa parte della famiglia dei poligoni regolari e, come abbiamo più volte scritto, nella geometria piana (geometria euclidea), questo tipo di figure si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:
– hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
– hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)
L’esagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 120° e possiede 6 assi di simmetria che altro non sono che le sue 3 bisettrici e le 3 mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.
Ma a rendere l’esagono assolutamente unico è il rapporto tra il raggio della sua circonferenza circoscritta ed il suo lato. Il risultato di questo rapporto è uguale a 1, il che significa che lato e raggio della circonferenza sono perfettamente congruenti. Nessun altro poligono regolare possiede questa straordinaria caratteristica. A questo si aggiunga che, come conseguenza del rapporto rc/l=1 , i triangoli che lo compongono, contrariamente a tutti gli altri poligoni regolari, non sono isosceli bensì triangoli equilateri.
È inoltre il primo poligono “derivabile” che incontriamo, infatti, partendo dalla costruzione di un triangolo equilatero, con la semplice tecnica della bisettrice di un angolo alla circonferenza relativo ad un determinato lato, si possono dividere a metà gli archi sottesi dai tre lati del triangolo in modo da ottenere altri tre punti di intersezione con la circonferenza circoscritta e di conseguenza i sei vertici dell’esagono (l’immagine a destra dovrebbe essere abbastanza esplicativa).
Possiamo quindi concludere affermando che l’esagono è un poligono regolare elegantemente semplice e unico e questo grazie soprattutto al suo lato perfettamente congruente con il raggio della sua circonferenza circoscritta; il che, matematicamente non è poco, anzi…
Costruzione con riga e compasso
Esagono fase 1
Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza
Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, “abbastanza” orizzontale. Orizzontale perchè così la base del nostro esagono risulterà, anche lei, “abbastanza” orizzontale.
Il nostro obbiettivo è costruire un esagono e non è fondamentale che la sua base risulti perfettamente orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.
Esagono fase 2
Si passa poi a tracciare un primo arco
Dall’intersezione (destra) tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto un primo punto C.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto C con un’apertura pari al segmento CO.
Esagono fase 3
Si passa poi a tracciare un secondo arco
In pratica dobbiamo ripetere l’operazione appena eseguita nella fase 2. Questa volta il compasso va puntato sul punto F ottenuto dall’intersezione (sinistra) tra retta iniziale e circonferenza. Con un’apertura pari al segmento FO tracciamo il secondo arco.
Esagono fase 4
Abbiamo ottenuto i vertici dell’esagono
Dalle intersezioni tra la retta iniziale e la circonferenza abbiamo ottenuto i primi due vertici, punto C e punto F poi, grazie al primo arco tracciato nella fase 2 sono arrivati anche i vertici B e D, ed infine, un nuovo arco tracciato nella fase 3 ci ha permesso di trovare gli ultimi due vertici, il punto A ed il punto E.
Esagono fase 5
Disegniamo i lati dell’esagono
Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i sei lati dell’esagono unendo i suoi sei vertici A B C D E F in modo da completare la procedura di costruzione.
