Come Costruire un Ottagono con Righello e Compasso

Per quanto ci si possa sforzare, trovare particolarità di rilievo all’ottagono rispetto agli altri poligoni regolari, non risulta impresa semplice. Sembrerebbe un poligono alquanto anonimo e probabilmente lo è, ma osservandolo da punti di vista diversi, forse qualcosa riusciamo a trovare.

Intanto possiamo approfittare di questa apparente carenza di particolari proprietà per “ampliare” quelle che abbiamo sino ad ora considerato le proprietà fondamentali dei poligoni regolari. Abbiamo scritto più volte che nella geometria piana (geometria euclidea), questo tipo di figure si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:
– hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
– hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)
Bene, è ora di aggiungere una terza proprietà:
– sono sempre poligoni convessi

Quindi, la corretta definizione di poligoni regolari potrebbe essere questa:
un poligono regolare è un poligono convesso che è contemporaneamente equilatero e equiangolo. Si tratta cioè di una porzione convessa di piano euclideo delimitato da una spezzata (poligonale) chiusa, formata da una successione di segmenti di uguale lunghezza (lati), che formano tra loro angoli di uguale ampiezza.

L’ottagono ha gli angoli tutti uguali e pari a 135° e possiede 8 assi di simmetria che altro non sono che le sue 4 bisettrici e le 4 mediane ed altezze tra loro perfettamente coincidenti, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro di questa figura perfettamente regolare.

Da un punto di vista puramente algebrico, l’ottagono risulta avere una particolare affinità con il numero 2 ed in particolare con la sua radice quadrata. Ecco alcune sue formule che lo testimoniano:

l = r_{c} \sqrt{2 - \sqrt{2}}

dove l è il lato dell’ottagono e $r_{c}$ è il raggio della circonferenza circoscritta.

l_{4} = r_{c} \sqrt{2}

dove $l_{4}$ è il lato del quadrato inscritto nell’ottagono

a = \frac{r_{c}}{2} \sqrt{2 + \sqrt{2}}

dove a è l’apotema dell’ottagono

A = 2 r_{c}^{2} \sqrt{2}

dove A è l’area dell’ottagono

Parlando invece di costruzione geometrica, come l’esagono risulta “derivabile” dal triangolo equilatero, anche l’ottagono si può costruire partendo da un altro poligono, il quadrato, e questo è possibile utilizzando la semplice tecnica del tracciamento degli assi dei lati del quadrato. Gli assi, incontrando la circonferenza circoscritta, dividono a metà gli archi sottesi dai quattro lati del quadrato in modo da ottenere altri quattro punti di intersezione e di conseguenza gli otto vertici dell’ottagono (l’immagine a destra dovrebbe essere abbastanza esplicativa).

Costruzione con riga e compasso
Ottagono fase 1
Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza
Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, “abbastanza” orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.

Ottagono fase 2Si passa poi a tracciare un primo arco
Dall’intersezione (destra) tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto un primo punto P1.
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un’apertura pari al segmento P1O.

Ottagono fase 3
Tracciamo un segmento che divide il raggio a metà
Dall’intersezione tra l’arco appena tracciato e la circonferenza iniziale abbiamo ottenuto due nuovi punti: P2 (in alto) e P3 (in basso).
Tracciamo ora un segmento che ha come limiti i due nuovi punti. Questo segmento andrà a divedere perfettamente a metà il raggio della nostra circonferenza (P1O)

Ottagono fase 4
Ottenuto un nuovo punto tracciamo un secondo arco più piccolo
Dall’intersezione tra il segmento appena tracciato e la retta che avevamo in origine otteniamo il punto P4
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P4 con un’apertura pari al segmento P4O.

Ottagono fase 5
Ottenuto un nuovo punto tracciamo una nuova retta
Dall’intersezione superiore tra l’arco appena tracciato ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P5
Tracciamo ora una nuova retta passante per i punti O e P5. Non importa la lunghezza della retta, l’importante è che intersechi la circonferenza originaria in due punti.

Ottagono fase 6
Ottenuto un nuovo punto tracciamo una ulteriore retta
Il procedimento è identico a quello della fase 5.
Dall’intersezione, questa volta inferiore, tra l’arco piccolo ed il segmento P2P3 abbiamo ottenuto il nuovo punto P6
Tracciamo quindi una ulteriore retta passante ora per i punti O e P6. Anche in questa fase non importa la lunghezza della retta, l’importante è che intersechi la circonferenza originaria in altri due punti.

Ottagono fase 7
Otteniamo il penultimo vertice dell’ottagono
Alcuni vertici dell’ottagono sono già ben distinguibili come ad esempio il punto P1 che abbiamo etichettato con la lettera C. In verità mancherebbero solo due vertici. Bene, il penultimo lo ricaviamo puntando il compasso sul punto D e con un’apertura pari al segmento DC tracciamo un arco che incontrerà la circonferenza in un nuovo punto (vertice E).

Ottagono fase 8
Otteniamo l’ultimo vertice dell’ottagono
L’ultimo vertice del nostro ottagono lo ricaviamo puntando il compasso sul punto B e con un’apertura pari al segmento BC tracciamo un arco che incontrerà la circonferenza in un nuovo punto (vertice A).

Ottagono fase 9
Disegniamo i lati dell’ottagono
Non ci rimane che prendere il righello e disegnare i lati dell’ottagono unendo i suoi otto vertici A B C D E F G H in modo da completare la procedura di costruzione dell’ottagono.

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