L’ettagono è il poligono regolare di minor numero di lati che non sia costruibile facendo uso esclusivamente della riga e del compasso.
Fa parte della famiglia dei poligoni regolari, figure che si contraddistinguono dal resto delle figure piane e chiuse per due proprietà fondamentali:
– hanno tutti i lati congruenti (lunghezza uguale)
– hanno tutti gli angoli interni ed esterni tra loro congruenti (ampiezza uguale)
L’ettagono ha gli angoli tutti uguali pari a circa 128° 34′ 12″. Per conformità con le misurazioni angolari fatte da GeoGebra, da qui in poi useremo sempre la notazione decimale, quindi l’angolo risulterà essere pari a circa 128,57°. La misura dell’angolo è la stessa, cambia solo la notazione che non è più sessagesimale bensì decimale. In caso di necessità, per la conversione si può usare questo convertitore angolare.
L’ettagono possiede 7 assi di simmetria che altro non sono che le sue bisettrici perfettamente coincidenti con le sue mediane ed altezze, di conseguenza, un unico punto identifica contemporaneamente l’ortocentro, il baricentro, l’incentro e il circocentro.
Il problema della costruzione con riga e compasso dei poligoni regolari, ovvero della suddivisione della circonferenza in n parti uguali (ciclotomia), era aperto da duemila anni. Euclide aveva dimostrato che, con riga e compasso era possibile costruire poligoni con 3, 4, 5, 15 lati, oltre quelli ottenuti per bisezione di tali lati (ad esempio l’ottagono), ma non si sapeva come costruire i poligoni con 7, 9, 11, 14, 17 lati. Gauss scoprì che un poligono regolare di n lati è costruibile con riga e compasso SE E SOLO SE n è una potenza intera di 2 o il prodotto di una potenza di 2 e di uno o più primi di Fermat.
La circonferenza, dunque, può essere suddivisa in 17 parti uguali ma non in 7, dato che 7 non è un primo di Fermat e la costruzione dell’ettagono regolare risulta quindi impossibile con l’uso degli strumenti elementari.
Gauss fu così orgoglioso del risultato raggiunto, tenuto conto che per duemila anni altri matematici avevano fallito, da esprimere il desiderio che sulla sua pietra tombale fosse inciso un poligono regolare di 17 lati (ettadecagono).
E allora? Questo vuol dire che ogni volta che abbiamo letto su un testo scolastico o su un sito che è possibile costruire l’ettagono… beh, come minimo non abbiamo ricevuto un’informazione corretta e completa? Vuol dire che anche io, presentandovi delle possibili costruzioni dell’ettagono, rischio di cadere nello stesso errore? Ma anche NO!
Le costruzioni che andremo ad approfondire sono delle approssimazioni (detto forte e chiaro) mooolto buone che contemplano errori trascurabili di poco più di un decimo di grado sull’angolo al centro.
Costruzione dell’ettagono partendo dall’esagono
Però, perché imparare a costruire un poligono già sapendo che la sua costruzione non sarà mai esatta? A questa domanda ognuno può dare le risposte che crede. Io penso che, essendo delle approssimazioni con errori davvero trascurabili e non dovendo costruire razzi che vadano su Marte ma magari un’aiuola a forma ettagonale, perché no? Aiuole a parte, ritengo che, in generale, lo studio delle costruzioni dei poligoni regolari con il solo ausilio della riga e del compasso sia un ottimo esercizio logico-geometrico che aiuta a comprendere a pieno le caratteristiche geometriche di queste affascinanti figure, rendendole tangibili e quindi più “famigliari”. Il fatto che si tratti (nel caso dell’ettagono) di approssimazioni, nulla toglie all’utilità didattica di queste costruzioni, senza parlare poi della “genialità” di alcune di esse, per le quali, non venendone a conoscenza, ci saremmo persi l’occasione di poterle apprezzare. Così, solo come esempio esplicativo: guardate la costruzione qui a fianco; si può partire da un esagono per costruire l’ettagono. In pratica, l’altezza di uno dei sei triangoli equilateri (apotema dell’esagono) che compongono l’esagono è perfettamente approssimabile al lato dell’ettagono circoscritto dalla stessa circonferenza. Se non è semplicemente geniale questo…
Costruzione esatta dell’ettagono, procedimento di Neusi
Per completezza di informazione, una costruzione esatta, per quanto NON ottenuta con l’uso classico di riga e compasso, può essere ottenuta grazie a una costruzione di Neusi. OPQR è un quadrato di lato unitario; la retta verticale identificata dal punto A è l’asse del segmento OP mentre l’arco QB è tracciato con centro in O. La costruzione di Neusi comporta la ricerca di un segmento di lunghezza unitaria passante per P e i cui estremi cadano sull’asse di OP e sull’arco QB: l’angolo PAO è l’angolo interno dell’ettagono.
Ma a chi usa il metodo Neusi, forse, piace vincere facile ; a noi no, quindi andiamo ad approfondirle passo passo queste costruzioni certamente approssimate, ma ugualmente interessanti.
Costruzione con riga e compasso
Ettagono fase 1
Si comincia con una semplice retta ed una circonferenza
Tracciamo una retta qualsiasi, se riusciamo, “abbastanza” orizzontale. Si comincia puntando il nostro compasso su di un punto qualsiasi O appartenente alla retta e con una apertura di compasso a piacere si disegna una circonferenza.
Ettagono fase 2
Tracciamo un primo arco
Dall’intersezione tra la retta e la circonferenza abbiamo ottenuto due punti, P1 (destra) e P2 (sinistra). In questa fase prendiamo in considerazione solo il punto P1
Ora dobbiamo tracciare un arco puntando il nostro compasso sul punto P1 con un’apertura pari al segmento P1O.
Ettagono fase 3
Si passa poi a tracciare un secondo arco
In pratica dobbiamo ripetere l’operazione appena eseguita nella fase 2, invertendo però i punti di riferimento. Questa volta il compasso va puntato sul punto P2 e con un’apertura pari al segmento P2O tracciamo il secondo arco.
Ettagono fase 4
Tracciamo un primo segmento
Il secondo arco tracciato nella fase precedente si interseca con la circonferenza iniziale creando un nuovo punto: P3.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P3 e il punto P1.
Ettagono fase 5
Tracciamo un secondo segmento
Il primo arco tracciato nella fase 2 si interseca con la circonferenza iniziale creando un nuovo punto: P4.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P4 e il punto O che è il centro della circonferenza iniziale.
Ettagono fase 6
Tracciamo un terzo archetto più piccolo
I due segmenti disegnati nelle rispettive fasi 4 e 5, si intersecano e ci permettono di rilevare il nuovo punto P5. A questo punto abbiamo il necessario per tracciare un nuovo arco. Questa volta il compasso va puntato sul punto P1 e con un’apertura pari al segmento P1P5 tracciamo un archetto sufficiente da andare ad intersecarsi con la circonferenza iniziale.
Ettagono fase 7
Tracciamo un terzo segmento
L’archetto precedentemente tracciato si interseca con la circonferenza iniziale creando il nuovo punto P6 di fondamentale importanza per la nostra costruzione.
Andiamo quindi a tracciare un segmento i cui estremi saranno il punto P6 e il punto O.
Ettagono fase 8
Settima parte dell’angolo giro
La costruzione dell’ettagono implica la suddivisione della circonferenza e del suo angolo al centro (angolo giro con centro in O) in sette parti perfettamente uguali. La procedura per rilevare il punto P6 ci permette di ricavare l’angolo P6OP1 (angolo α) che misura esattamente 51,3178°. Come sappiamo, la settima parte di un angolo giro è pari a circa 51,4286°. La differenza, e quindi l’errore commesso, è di circa 0,1108°, valore accettabile per poter considerare almeno approssimabile l’angolo α alla settima parte di un angolo giro.
Ettagono fase 9
Proseguiamo con la costruzione
La verifica della misura dell’angolo α ci ha permesso di stabilire che i punti P1 e P6 possono considerarsi i primi due vertici rilevati dell’ettagono; in pratica abbiamo ottenuto il lato l del nostro poligono. Non ci rimane che “distribuirlo” altre sei volte lungo la circonferenza. Quindi, puntando il compasso sul punto P1, con apertura pari al segmento P1P6, tracciamo un arco che intersecherà la circonferenza in un nuovo punto.
Ettagono fase 10
Rileviamo i vertici mancanti dell’ettagono
L’arco tracciato nella fase precedente ci ha permesso di rilevare un nuovo punto che però sappiamo essere un vertice, quindi lo etichettiamo con la lettera B. Abbiamo cambiato l’etichetta anche al punto P1 che diventa quindi il vertice C. Non rimane che ripetere l’operazione fatta in fase 9, ovvero tracciare un nuovo arco, questa volta puntando il compasso sul vertice B con apertura pari a BC. L’operazione va ripetuta n volte con l’unica accortezza di puntare il compasso sui nuovi vertici ottenuti di volta in volta, il tutto fino a rilevare tutti i vertici dell’ettagono.
Ettagono fase 11
Disegniamo i lati dell’ettagono
Ottenuti tutti i vertici, non ci rimane che prendere il righello e disegnare i lati dell’ettagono unendo i suoi sette vertici A B C D E F G in modo da completare la procedura di costruzione.
